Propriedade Operatórias
Antes da apresentação das propriedades, cabe uma observação simples, porém muito importante. Toda igualdade deve ser pensada como uma via de mão dupla, ou seja, que pode tanto ser lida da esquerda para a direita, como estamos mais acostumados a fazer, quanto da direita para a esquerda. A leitura de uma igualdade em ambos os sentidos costuma revelar duas verdades, e em diversas situações as propriedades que serão vistas a seguir, assim como tantas outras na matemática, são utilizadas "ao contrário", com intuito de transformar o que está escrito do lado direito no que está escrito do lado esquerdo.
Produto de potência de mesma base
Para multiplicar duas potências de mesma base, basta manter a base e somar os expoentes.
a^m * a^n = a^m+n
Ex.1:
2^3 * 2^4 = 2^7 = 128.
Esta conta pode ser ilustrada da seguinte maneira:
2^3 * 2^4 = (2*2*2)*(2*2*2*2) = 2^7 = 128.
Repare como essa propriedade pode simplificar certos cálculos. A conta 1024*4096, por exemplo, pode ser feita assim: 1024*4096 = 2^10*2^12 = 2 ^22. A facilidade de realizar a última conta vem, por um lado, da praticidade e simplicidade da noção e, por outro, da agilidade proporcionada pela existência de uma regra para multiplicares potências de mesma base.
Ex. 2:
Resolva a equação 3^x + 3^(x+1) + 3^(x+2) = 117
temos que 3^(x+1) = 3^x * 3^1, e que 3^(x+2) = 3^x * 3^2.
Sendo assim, 3^x + 3^(x+1) + 3^(x+2) = 117
Produto de potência de mesma base
Para multiplicar duas potências de mesma base, basta manter a base e somar os expoentes.
a^m * a^n = a^m+n
Ex.1:
2^3 * 2^4 = 2^7 = 128.
Esta conta pode ser ilustrada da seguinte maneira:
2^3 * 2^4 = (2*2*2)*(2*2*2*2) = 2^7 = 128.
Repare como essa propriedade pode simplificar certos cálculos. A conta 1024*4096, por exemplo, pode ser feita assim: 1024*4096 = 2^10*2^12 = 2 ^22. A facilidade de realizar a última conta vem, por um lado, da praticidade e simplicidade da noção e, por outro, da agilidade proporcionada pela existência de uma regra para multiplicares potências de mesma base.
Ex. 2:
Resolva a equação 3^x + 3^(x+1) + 3^(x+2) = 117
temos que 3^(x+1) = 3^x * 3^1, e que 3^(x+2) = 3^x * 3^2.
Sendo assim, 3^x + 3^(x+1) + 3^(x+2) = 117
- 3^x + 3 * 3^x + 9 * 3^x = 3^x(1 + 3 + 9) = 117
- 13 * 3^x = 117
- 3^x = 9 -> x =2
Divisão de potências de mesma base
Para dividir duas potências de mesma base, basta manter a base e subtrair os expoentes.
a^m : a^n = a^m-n
Obs.: Por enquanto estamos supondo que m > n, ou seja, que m -n é positivo.
Ex.: 3^9 : 3^4 = 3^(9-4) = 3^5.
Potência de potência
Para calcular uma potência de outra potência, basta manter a base e multiplicar os expoentes.
(a^m)^n = a ^m*n
Ex.: (2^3)^4 = 2^3*4 = 2^12.
Cuidado!
Os símbolos (a^m)^n e a^m^n possuem significados diferentes. O segundo símbolo deve ser interpretado como a^m^n = a^(m^n). temos, por exemplo, (2^1)^5 = 2^1*5 = 2^5 = 32, enquanto 2^1^5 = 2^(1^5) = 2^1 = 2.
Potência de um produto
Para elevar um produto a um determinado expoente, basta elevar cada fator ao referido expoente e multiplicar os resultados.
(a*b)^n = a^n * b^n
Ex.: (5xy²z³)^4 = 5^4 * (y²)^4 * (z³)^4 = 625*x^4*y^8*z^12.
Potência de a divisão
Para elevar uma fração a um determinado expoente, basta elevar separadamente o numerador e o denominador ao referido expoente e depois dividir os resultados.
Potência de a divisão
Para elevar uma fração a um determinado expoente, basta elevar separadamente o numerador e o denominador ao referido expoente e depois dividir os resultados.
(a/b)^n = a^n : b^n
Ex.:
I. (2/3)^4 = 2^4 : 3^4 = 16 :81
II. 16^7 : 8^7 = (16/8)^7 = 2^7 = 128.
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