Revisão EspCEx - Volume do Cone

Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente

na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será:

Solução: 

Volume do óleo = Volume total - volume da água

V = piR²h/3 - pir²h/3.2

V = piR²h/3 - pir²h/6

Dica: r= R/3 (Relação de proporção entre o raio do cone maior e o raio do cone maior)

V = piR².h/3 - piR².h/24

V= 8piR²h/24 - piR²h/24

V= 7piR²h/24

Como o volume do óleo é constante, temos que V=V’ (volume do óleo após escoar toda água). Assim temos que,

7piR²h/24 = pir'²h'/3
7piR²h/8 = pir'²h'

Dica: Repare que r’/R=h’/h, logo r’=R.h’/h.

Substituindo vem,

7piR²h/8 = piR²,h'².h'/h²

Fazendo as simplificações necessárias temos,

7h³/8 = h'³

tirando a raíz cúbica em ambos os lados temos,

h'=(raiz cubica de 7) . h/2

Resposta: alternativa A)