Introdução
De uso corrente em Matemática, a noção básica de conjunto não é definida, ou seja, é aceita intuitivamente e, por isso, chamada noção primitiva. Ela foi utilizada primeiramente por Geog Cantor (1845-1918), matemático nascido em São Petersburgo, mas que passou a maior parte de sua vida na Alemanha. Segundo Cantor, a noção de conjunto designa uma coleção de objetos bem definidos e discerníveis, chamados elementos do conjunto. Pretendemos aqui introduzir alguns conceitos que também consideramos primitivos:
• conjunto: designado, em geral, por uma letra latina maiúscula (A, B, C, ... , X, Y, Z);
• elemento: designado, em geral, por uma letra latina minúscula (a, b, c, ... , x, y, z);
• pertinência: a relação entre elemento e conjunto, denotada pelo símbolo ∈, que se lê “pertence a”.
Assim, por exemplo, se A é o conjunto das cores da bandeira do Brasil, designadas por v (verde), a (amarelo), z (azul), e b (branco), podemos falar que v, a, z, b são elementos de A, o qual pode ser representado colocando-se os elementos entre chaves, como segue: A = {v, a, z, b} Dizemos, então, que v ∈ A, a ∈ A, z ∈ A e b ∈ A.
Observações
• Os símbolos ∉ e ≠ são usados para expressar as negações de ∈ e =, respectivamente. No exemplo acima, temos v ≠ a, v ≠ b, a ≠ z, a ≠ b, b ≠ z e, se designarmos a cor preta por p, temos que p ∉ A.
• Além de poder ser descrito enumerando-se um a um seus elementos, como mostrado no exemplo anterior, um conjunto pode ser designado por uma propriedade característica de seus elementos. Nesse caso, podemos representá-lo da seguinte forma:
A = {x I x é cor da bandeira do Brasil} (Lê-se: tal que)
Características Gerais dos Conjuntos Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Assim, por exemplo:
• se A = {a, b, c} e B = {b, c, a}, temos que A = B; • se A = {x I x-2 = 5} e B = {7}, temos que A = B;
• se A é o conjunto das letras da palavra garra e B é o conjunto das letras da palavra ‘agarrar’, temos A = B. Note que, apesar de a palavra ‘garra’ ter cinco letras e a palavra ‘agarrar’ ter sete, temos {g, a, r, r, a} = {a, g, a, r, a, r} = {a, g, r}, ou seja, dentro de um mesmo conjunto não precisamos repetir os elementos.
• Há conjuntos que possuem um único elemento – chamados conjuntos unitários – e há um conjunto que não possui elementos – chamado conjunto vazio e indicado por { } ou ∅. Exemplos: 1. São conjuntos unitários: A = {5} B = {x I x é capital da França} = {Paris} 2. São conjuntos vazios: C = conjunto das cidades de Goiás banhadas pelo oceano Atlântico = ∅ D = {x I x ≠ x} = ∅
• Há conjuntos cujos elementos são conjuntos, como, por exemplo: F = {∅, {a}, {c}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} Assim, temos: ∅ ∈ F; {a} ∈ F; {c} ∈ F, {a, b} ∈ F; {a, c} ∈ F; {a, b, c} ∈ F. Observe que: a ∉ F e c ∉ F, pois a e c não são elementos do conjunto F. Logo, a ≠ {a} e c ≠ {c}.
Pense nisto: Os conjuntos {a} e {{a}} são iguais?
Exercícios – Características gerais dos conjuntos
1. Indique se cada um dos elementos -4; 1/3; 3 e 0,25 pertencem ou não a cada um destes conjuntos.
A = {x I x é um número inteiro}
B = {x I x < 1}
C = {x I 15x – 5 = 0}
D = {x I -2 ≤ x ≤ 1/4}
2. Considerando que F = {x I x é estado do sudeste brasileiro} e G = {x I x é capital de um país sul-americano}, quais das sentenças seguintes são verdadeiras?
a) Rio de Janeiro ∈ F
b) México ∈ G
c) Lima ∉ G
d) Montevidéu ∈ G
e) Espírito Santo ∉ F
f) São Paulo ∈ F
3. Se H = {-1, 0, 2, 4, 9}, reescreva cada um dos conjuntos seguintes enumerando seus elementos.
A = {x I x ∈ H e x < 1}
B = {x I x ∈ H e (2x-1)/3 = 1}
C = {x I x ∈ H e x é um quadrado perfeito}
D = {x I x ∈ H e x < 0}
4. Em cada caso, identifique os conjuntos unitários e os vazios.
A = {x I x = 1 e x = 3}
B = {x I x é um número primo positivo e par}
C = {x I 0 < x < 5 e (3x+5)/2 = 4}
D = {x I x é capital da Bahia}
E = {x I x é mês cuja letra inicial do nome é p}
F = {x I 2/x = 0}
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